扩展域并查集详解

人生乱弹 2年前 (2023) admin
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如有错漏之处,敬请各位奆佬指正!

这是个比较冷门的数据结构。。。(其实很简单而且并不冷门)
我是在做 P1892 [BOI2003]团伙的时候听说的。
那么,我就来讲解一下这个结构。
upd at 2020-09-17 准备开始扩写这篇文章

一、预备知识

并查集
好像也没了...

所以我说他很菜嘛...
二、引入
咱们做并查集的问题,基本上题面都是这样“三步走”:

n 个点,m 个关系(边)。
给你这些关系,每个链接两点 x , y 。
求两点之间是否连通。

当然第三步可能会有一些变更,例如

判断整个图的连通性
统计连通块个数

这些都可以通过一些小优化在 O(1) 的时间内完成处理。
假如在第二步上做一些变更呢?

给定两种关系。第一种:给定一对朋友关系;第二种,给定一对敌人关系,满足敌人的敌人就是朋友。

那么传统并查集就捉襟见肘了。
我们当然可以使用暴力方法(Floyd)在 O(n3) 的时间内把敌人关系预处理成朋友关系。但是这对于题目 n≤1000 的数据量来说是会 T 的。
其实有一种方法能在 O⁡(1) 的时间内优化他。那就是...
三、反集
反集的思路是再构造一个集合(称之为反集),然后将“敌人”关系通过原集和反集表示出来。
比如假设有 3 个元素 1,2,3。我们称他们的反集元素分别为 1′,2′,3′。(如下图)

那么,如何体现敌人关系呢?
假如有一对敌人关系 (1,2)。
我们只需要连接两条边 <1,2′>,<2,1′> 就行了。
这样,在 1,2 之间构成了一个 × 形,由于 1′ 和 2′ 不会相连,所以这在并查集中也就意味着,这两个结点不会连到一起了。(如下图)

等等!还有一个敌人的敌人就是朋友关系,在这里是否是正确的呢?
假如还有一对敌人关系 (2,3),那么,根据规则,1 与 3应该是朋友关系(在一个集合中)。
我们按照上面的规则,连接 <2,3′> 和 <3,2′>,则图变成了这样:

则图变成了两个连通块(如下图,红色,蓝色)。

自然地,1,3 在一个连通块中了。
三、实现
在代码中,我们可以开 2×n 的数组,利用 i+n(0<i≤n) 来代替上面的 i′。
代码只需要在并查集的基础上加两个部分即可。
定义:

ri​:并查集数组,代表第 i 个元素的代表元素。

初始化

for(int i=1;i<=2*n;i++)//注意这里的2*n。
{
r[i]=i;
}

 
反集操作

读入结点u,v之间的关系;
if(朋友关系)
{
union(u,v);
}
else//敌人关系。
{
//刚刚讲过的操作。
union(u,v+n);
union(v,u+n);
}

 

文章来源

版权声明:admin 发表于 2023年10月25日 am10:13。
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